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Acerca de la Evolución del Álgebra Geométrica y el Cálculo Geométrico

Aunque Leibniz articuló el sueño de un cálculo geométrico universal en el siglo XVII, su realización comenzó en 1844 con la gran obra de Hermann Grassmann, Die Lineale Ausdehnungslehre. La visión de Grassmann era muy avanzada para su tiempo, tanto, que tardó más de un siglo en ser ampliamente apreciada [Schubring, 1996]. Si bien mientras tanto Grassmann penetraba profundamente en el pensamiento de matemáticos excelentísimos como Peano [1888] y Whitehead [1848], su trabajo no logró prosperar ni promulgar su visión. Muchas de sus ideas fueron redescubiertas o desarrolladas de forma anónima en varias ramas de la matemática, pero sin su concepto unificador.

El programa de Grassmann de desarrollar un cálculo geométrico universal, resurgió en 1966 con el libro Space-Time Algebra (STA) de David Hestenes, un perfeccionamiento de su tesis doctoral (UCLA, 1963). Más de un siglo de avances en matemáticas y física en pos de Grassmann le dieron a la idea del álgebra geométrica su forma moderna y la revitalizaron. En el siguiente árbol genealógico se muestran los principales precursores matemáticos del álgebra geométrica (AG) y el cálculo geométrico (CG). En el artículo Álgebra de Clifford y la interpretación de la mecánica cuántica se describen la función de la física teórica y las notas de la conferencia de Marcel Riesz [1958] sobre la estimulación de la síntesis inicial. En general, las aplicaciones en la física han aportado más al desarrollo del AG que la investigación pura en matemáticas.

El libro Space-Time Algebra aporta una especie de “demostración conceptual”. Demostró cómo el álgebra geométrica proporciona fórmulas compactas y sin coordenadas a las ecuaciones básicas de la física, así como nuevas ideas sobre su estructura geométrica. Sin embargo, para sacar el máximo provecho de esas nuevas fórmulas, se requerían nuevas herramientas y métodos de cálculo o, por lo menos, reformulaciones y adaptaciones sin coordenadas de los métodos antiguos. Esto ha estimulado el desarrollo del cálculo geométrico desde distintos enfoques hasta el día de hoy.

El tratamiento más amplio de la teoría matemática se incluye en el libro Algebra de Clifford para el Cálculo Geométrico [1984]. Con excepción del último capítulo agregado en 1979, el manuscrito ya estaba listo para su publicación en 1976, pero no apareció impreso sino hasta 1984 debido a una serie de desafortunados contratiempos publicitarios. En Universal Geometric Calculus se recopilan documentos con desarrollos y mejoras en el cálculo. Con argumentos generales y muchos ejemplos, allí y en otras fuentes se argumenta que el álgebra geométrica es una herramienta de computación general más eficiente que el álgebra matricial. Por lo tanto, es una candidata para suplantar (o subsumir) al álgebra matricial en software computacional y diseños de software para la computación científica. De hecho, el uso del álgebra geométrica se está expandiendo rápidamente en el Diseño geométrico asistido por computador, la Visión por computador y la robótica.

Las aplicaciones del AG a la física son ahora tan diversas y extensas que existe la necesidad de organizarlas en libros para facilitar la accesibilidad. Mientras tanto, los sitios web de AG aquí y en Cambridge cumplen esa función en forma de “libros en línea”. Estos son los únicos sitios expresamente interesados por el desarrollo de un Cálculo Geométrico Universal. Los desarrollos más interesantes se encuentran en la mecánica cuántica relativista y en la teoría de la gravitación, donde el AG ha aportado nuevas ideas y simplificaciones. El libro Spacetime Calculus, en desarrollo, pretende ser una introducción sintetizada a este campo.

Libros recientes sobre Cálculo y Álgebra de Clifford/Geométrica

D. Hestenes and G. Sobczyk, Clifford Algebra to Geometric Calculus.

D. Hestenes, New Foundations for Classical Mechanics.

D. Hestenes, Space-Time Algebra.

D. Hestenes, Space-Time Calculus.

R. Delanghe, F. Sommen and V. Soucek, Clifford Algebra and Spinor-Valued FunctionsKluwer Academic Publisher, Dordrecht/Boston (1992).

P. Lounesto, Clifford Algebras and SpinorsCambridge University Press, Cambridge (1997).

R. Ablamowicz & B. Fauser (Eds.), Clifford Algebras and their Applications in Mathematical Physics, Vol. 1 & 2 (Birkhauser, Boston, 2000).

E. Bayro Corrochano & G. Sobczyk, Geometric Algebra with Applications in Science and Engineering  (Birkhauser,  Boston 2001).

L. Dorst, C. Doran & J. Lasenby (Eds.), Applications of Geometrical Algebra in Computer Science and Engineering (Birkhauser, Boston, 2002)

W. Baylis, Electrodynamics: A Modern Geometric Approach  (Birkhauser, Boston, 1999).

A. Lasenby & C. Doran, Geometric Algebra for Physicists (Cambridge U. Press, Cambridge 2002).

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John Miller

John has worked in investment banking for 10 years and is the main author at 7 Binary Options. He holds a Master's degree in Economics.
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